在科學(xué)中，最簡單的解釋往往蘊含著最多的真理，這一概念被稱為"奧卡姆剃刀"。幾個世紀以來，這一原則一直影響著科學(xué)思想，但在處理抽象概念時，我們該如何評估它們呢？在一篇新論文中，來自加州大學(xué)圣巴巴拉分校和加州大學(xué)歐文分校的哲學(xué)家討論了如何通過比較科學(xué)理論的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)來權(quán)衡其復(fù)雜性。

(資料圖)

來自加州大學(xué)圣巴巴拉分校和加州大學(xué)歐文分校的哲學(xué)家們探討了如何利用科學(xué)理論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來評估這些理論的復(fù)雜性，重點是對稱性的作用。雖然他們懷疑僅憑對稱性就能對復(fù)雜性進行全面比較，但他們注意到對稱性在理解理論內(nèi)在結(jié)構(gòu)方面的作用，并建議未來對不同種類的對稱性進行探索。

他們的目的是利用對稱性來描述理論結(jié)構(gòu)的數(shù)量--或者說一個物體在發(fā)生其他變化時保持不變的方面。

經(jīng)過反復(fù)討論，作者最終懷疑對稱性能否提供他們所需的框架。不過，他們確實揭示了為什么對稱性是理解結(jié)構(gòu)的絕佳指南。他們的論文發(fā)表在《綜合》（Synthese）雜志上。

"科學(xué)理論通常不會把自己的解釋寫在袖子上，所以很難說清楚它們到底在告訴你這個世界什么，"第一作者、加州大學(xué)圣巴巴拉分校哲學(xué)系副教授托馬斯-巴雷特（Thomas Barrett）說，"尤其是現(xiàn)代理論。尤其是現(xiàn)代理論。每過一個世紀，它們就會變得更加數(shù)學(xué)化。了解不同理論中的結(jié)構(gòu)數(shù)量可以幫助我們理解它們在說什么，甚至讓我們有理由選擇其中一種理論。"

結(jié)構(gòu)還能幫助我們識別兩種觀點是否真的是同一種理論，只是披著不同的外衣。例如，20 世紀初，維爾納-海森堡和埃爾溫-薛定諤分別提出了兩種量子力學(xué)理論。巴雷特說："他們互相憎恨對方的理論。薛定諤認為，他同事的理論"缺乏可視性"。與此同時，海森堡認為薛定諤的理論"令人厭惡"，并聲稱"薛定諤關(guān)于可視性的論述[......]都是廢話"。

不過，雖然這兩個概念看起來截然不同，但它們實際上做出了相同的預(yù)測。大約十年后，他們的同事約翰-馮-諾依曼證明了這兩個概念在數(shù)學(xué)上是等價的。

蘋果和橘子

研究一個數(shù)學(xué)對象的常用方法是看它的對稱性。其原理是，對稱性越強的對象結(jié)構(gòu)越簡單。例如，圓具有無限多的旋轉(zhuǎn)對稱性和反射對稱性，而箭頭只有一個。從這個意義上說，圓比箭更簡單，需要的數(shù)學(xué)描述也更少。

作者利用自動態(tài)將這一標準擴展到更抽象的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。這些函數(shù)比較對象的各個部分，從某種意義上說，它們彼此"相同"。自動態(tài)為我們提供了衡量不同理論結(jié)構(gòu)的啟發(fā)式方法： 越復(fù)雜的理論，其自形性越少。

2012 年，兩位哲學(xué)家提出了一種比較不同理論結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的方法。當且僅當 X 的自變量是 Y 的自變量的子集時，一個數(shù)學(xué)對象 X 的結(jié)構(gòu)至少和另一個數(shù)學(xué)對象 Y 的結(jié)構(gòu)一樣多。現(xiàn)在將它與一個涂有一半紅色的圓進行比較。由于在系統(tǒng)中添加了額外的結(jié)構(gòu)，陰影圓現(xiàn)在只具有原來的一些對稱性。

這是一個很好的嘗試，但它過于依賴物體具有相同類型的對稱性。這對形狀來說很有效，但對更復(fù)雜的數(shù)學(xué)來說就失效了。

新加坡國立大學(xué)的艾薩克-威廉試圖解決這一敏感性問題。我們應(yīng)該能夠比較不同類型的對稱組，只要我們能找到它們之間的對應(yīng)關(guān)系，保留每個對稱組的內(nèi)部框架。例如，給藍圖貼標簽可以在圖片和建筑物之間建立一種對應(yīng)關(guān)系，從而保留建筑物的內(nèi)部布局。

這種變化使我們能夠比較截然不同的數(shù)學(xué)理論結(jié)構(gòu)，但也會得出錯誤的答案。"巴雷特說："不幸的是，威廉走得太遠了。不是任何對應(yīng)關(guān)系都能做到的。"

具有挑戰(zhàn)性的努力

在他們最近的論文中，巴雷特和他的合著者JB-曼查克（JB Manchak）和詹姆斯-韋瑟拉爾（James Weatherall）試圖通過限制他們將考慮的對稱性或自動變形的類型來挽救他們同事的進步。也許只有由底層對象（如圓和箭頭）而非它們的對稱群產(chǎn)生的對應(yīng)關(guān)系才是正確的。

不幸的是，這一嘗試也失敗了。事實上，用對稱來比較數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)似乎在原理上是注定要失敗的?？紤]一個不對稱的形狀。也許是墨跡。世界上有不止一種墨跡，它們都完全不對稱，彼此完全不同。但是，它們都有相同的對稱組--即"無"--因此，所有這些系統(tǒng)都將墨跡歸類為具有相同的復(fù)雜性，即使有些墨跡比其他墨跡亂得多。

這個墨跡的例子揭示出，我們不能僅僅通過觀察一個物體的對稱性來判斷其結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。正如巴雷特所解釋的那樣，一個物體的對稱性數(shù)量以零為底線。但一個物體的復(fù)雜性卻沒有相應(yīng)的上限。這種不匹配造成了結(jié)構(gòu)復(fù)雜性上限的假象。

作者由此揭示了真正的問題所在。對稱性概念在描述結(jié)構(gòu)方面非常強大。然而，它并不能捕捉到數(shù)學(xué)對象及其所代表的科學(xué)理論的足夠信息，從而無法對復(fù)雜性進行全面的比較。尋找一個能做到這一點的系統(tǒng)將繼續(xù)讓學(xué)者們忙碌不已。

一線希望

雖然對稱性可能無法提供作者所希望的解決方案，但他們發(fā)現(xiàn)了一個關(guān)鍵的洞察力： 對稱性觸及了物體自然、有機地具備的概念。這樣，它們就可以用來比較不同理論和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。巴雷特說："這個想法給了一個直觀的解釋，為什么對稱性是結(jié)構(gòu)的良好指南。"作者寫道，即使哲學(xué)家們不得不放棄使用自動態(tài)來比較結(jié)構(gòu)，這個想法也值得保留。

幸運的是，自形并不是數(shù)學(xué)中唯一的對稱。例如，我們可以研究局部區(qū)域的對稱性，并對其進行比較，而不是只關(guān)注全局對稱性。巴雷特目前正在研究這將導(dǎo)致什么結(jié)果，并致力于描述用一種結(jié)構(gòu)定義另一種結(jié)構(gòu)的含義。

盡管我們還沒有弄清這一點，但這篇論文給哲學(xué)家們提供了一個目標。我們不知道在通往理解之巔的這一充滿挑戰(zhàn)的攀登過程中，我們走了多遠。前方的道路迷霧重重，甚至可能根本沒有山頂可言。但是，對稱性為我們繼續(xù)攀登提供了一個錨。

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